反函数求导公式推导

反函数求导的公式推导基于链式法则和导数的倒数关系。以下是推导过程：

1. 假设函数 \\（ y = f（x） \\） 在区间 \\（ [a, b] \\） 上严格单调且连续，并且在该区间上有导数 \\（ f\'（x） \\neq 0 \\）。

2. 根据链式法则，复合函数 \\（ y = f（g（x）） \\） 的导数为：

\\[ \\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{dg} \\cdot \\frac{dg}{dx} \\]

3. 如果 \\（ y = f（x） \\） 和 \\（ x = g（y） \\） 互为反函数，那么有：

\\[ \\frac{dy}{dx} \\cdot \\frac{dx}{dy} = 1 \\]

4. 从上面的等式中解出 \\（ \\frac{dx}{dy} \\），得到反函数的导数公式：

\\[ \\frac{dx}{dy} = \\frac{1}{\\frac{dy}{dx}} \\]

5. 如果 \\（ y = f（x） \\） 的导数是 \\（ f\'（x） \\），那么反函数 \\（ x = g（y） \\） 的导数就是 \\（ \\frac{1}{f\'（g（y））} \\）。

6. 特别地，对于反三角函数，例如 \\（ y = \\arcsin x \\），其导数是：

\\[ \\frac{dy}{dx} = \\frac{1}{\\sqrt{1 - x^2}} \\]

因此，反函数求导的公式可以表示为：

\\[ \\frac{d}{dx}f^{-1}（x） = \\frac{1}{f\'（f^{-1}（x））} \\]

这个公式是通用的，适用于所有可导函数及其反函数。需要注意的是，这个公式只在原函数和其反函数在相应区间上单调性一致时成立

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